Уравнения Максвелла

Дифференциальная форма

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций (\mathbf{D},\;\mathbf{E},\;\mathbf{H},\;\mathbf{B}):

Название
СГС
СИ
Примерное словесное выражение
Закон Гаусса
\nabla\cdot\mathbf{D}=4\pi \rho
\nabla\cdot\mathbf{D}= \rho
Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
Не существует магнитных зарядов.[~ 1]
Закон индукции Фарадея
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1]
Теорема о циркуляции магнитного поля
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c} \mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{H}= \mathbf{j}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения:

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины \mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D}, \mathbf{H} и \mathbf{j} и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название
СГС
СИ
Примерное словесное выражение
Закон Гаусса
\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}=4\pi Q
\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}= Q
Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.
Закон Гаусса для магнитного поля
\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0
\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0
Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея
\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s  \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}
\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}
Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
Теорема о циркуляции магнитного поля
\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}= \frac{4\pi}{c} I+\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}
\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}= I+\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}
Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади d\mathbf{s} направлен из объёма наружу. Ориентация d\mathbf{s} при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по d\mathbf{l}.

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции \mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D},  \mathbf{H} являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.