Гармонические колебания

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.

Например, в случае механических гармонических колебаний:

В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0'; – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0' = φ0 + π/2 полностью совпадают.

гармоническими колебаниями

 

гармоническими колебаниями

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t = 0  смещение х = 0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0' = 0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t = 0 смещение х = хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0 = 0.

 

Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: фаза колебания.

Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

фаза колебания

Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

 

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени

 

Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.

 

Величина  максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости) - максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).

 максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости)

Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: для скорости при гармоническом колебании,  а для случая нулевой начальной фазы для случая нулевой начальной фазы  (см. график).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях [2]

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени - вторая производная от координаты по времени. Тогда: Ускорение при гармоническом колебательном движении.

Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).

Величина максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем

- максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: для ускорения имеем, а для случая нулевой начальной фазы: для случая нулевой начальной фазы (см. график).

максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем

Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).

Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:

$\boldsymbol{x={x}_{m}\sin \omega t}$    и  $\boldsymbol{a=-{x}_{m}{\omega }^{2}\sin \omega t}$.

 

Можно записать: вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению -

т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.

вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению

Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде:  уравнения для колебаний,

где – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Аналогично для скорости и ускорения.

 уравнения для колебаний

Превращение энергии при гармонических колебаниях.

На примере колебаний тела на нити видим, что в положении равновесия скорость и, следовательно, кинетическая энергия тела максимальны. Если потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия, то она максимальна при амплитудном значении смещения, т.е. когда кинетическая энергия (скорость) равна нулю.

Превращение энергии при гармонических колебаниях[2]

Т.к. мы рассматриваем свободные колебания (происходящие в отсутствие трения), то выполняется закон сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий остается неизменной:

Превращение энергии при гармонических колебаниях

Пусть колебание происходит по закону синуса Пусть колебание происходит по закону синуса, тогда скорость меняется по закону косинуса скорость меняется по закону косинуса. Запишем выражение для кинетической энергии: выражение для кинетической энергии.

 

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия будет равна максимальной кинетической, т.к. в положении равновесия потенциальная равна нулю. Тогда:  в положении равновесия потенциальная равна нулю. Для потенциальной энергии получим: Для потенциальной энергии

 

Т.о. мы видим, что

колебания кинетической и полной энергий происходят в противофазе.

 

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Затухающими наз. колебания, энергия (а значит, и амплитуда) которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных механических гармонических колебаний связано с убыванием механической энергии за счет действия сил сопротивления и трения.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ[3]

Если сила сопротивления пропорциональна скорости относительного движения сила сопротивления пропорциональна скорости относительного движения, то амплитуда колебаний изменяется по законуамплитуда колебаний изменяется по закону, где x0 – начальная амплитуда, коэффициент затуханиякоэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды, e – основание натурального логарифма.

 

Затухающие колебания не являются истинно периодическим процессом, т.к. в них никогда не повторяются значения физических величин.

 

Условным периодом затухающих колебаний наз. промежуток времени между двумя состояниями колеблющейся системы, в которых физические величины, характеризующие колебания, принимают аналогичные значения, изменяясь в одном и том же направлении: Условный период затухающих колебаний,

где ω0 – собственная частота свободных колебаний.

Условный период затухающих колебаний

Мы видим, что период затухающих колебаний больше, чем период незатухающих колебаний с теми же параметрами колебательной системы.

 

При условии δ < ω0 затухающие колебания описываются уравнением затухающие колебания описываются уравнением, где  затухающие колебания описываются уравнением.

Если δ > ω0, то трение в системе очень велико и колебаний не происходит, запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия полностью расходуется на преодоление трения.

затухающие колебания [4]


Источник: http://www.eduspb.com/node/1781